Alaptörvények
A./ Ohm törvény
A vezetési jelenségek
megfigyeléséből arra következtethetünk, hogy a vezető belsejében a töltést
mozgató térerősség vektor (E)*, és az
áramsűrüség vektor (J)* között
arányosság van. Arányossági tényező a g
fajlagos vezetés. Ennek az
összefüggésnek általános (vagy szokásosan differenciális) Ohm törvény a neve
:
J = g E. Al. 1
A g fajlagos vezetés az anyagra jellemző adat, és az értéke nagyságrendileg (fémes vezetőkre) 107 A/Vm.
Az anyagnak általában van karakterisztikus hőfokfüggése, ami az Al. 1. ábrán jól látható, de amit sokszor elhanyagolunk.
A gyakorlatban elterjedtebb mennyiség a fajlagos ellenállás a r :
r = 1/g . Al. 2
Igy az Al. 1 átírható:
E = r J. Al. 3
Az ellenállás (rezisztencia R) és a fajlagos ellenállás a r között - ha feltételezzük az anyag homogenitását - az alábbi logikusan következő (definíciószerű ) összefüggés van:
R = r l/a. Al. 4
A képletben "l" (m) az illető anyag hossza és "a" a keresztmetszete (m2) . Figyelembe véve az Al.3 és az Al.4 összefüggéseket, valamint beírva a dimenziókat, definiálhatjuk az ohm egységét :
1 W (ohm) = 1 V/A. Al. 5
* ( A vektor egy olyan mennyiség, amelynek nemcsak nagysága, hanem iránya is van.)
Az ellenállás reciproka a vezetés, amelynek egysége a siemens (S):
1 S (siemens) = 1 A/V. Al. 6
(Ezt néha " mho "-nak is jelölik.)
Nézzük az Al. 2. ábrát, amelyen látható elektromos vezetőben I nagyságú áram folyik és ennek hatására a két szaggatott jel közötti ellenállás részen U nagyságú feszültség jelenik meg. Az arányossági faktor az R ellenállás (Al. 7). Ez kísérletileg bizonyított, de az áramlási tér törvényeinek linearitását kihasználva, - ami az elméleti szakirodalom megfelelő fejezeteinél bizonyítva van - az Al.3-ból is megkaphatjuk a jól ismert Ohm törvényt :
U = RI ( I = U/R, R =U/I ) Al. 7
A feszültség Volt, az áram Amper és az ellenállás Ohm dimenziójú.
A középiskolában már megismertük, és most csak felelevenítjük a fém anyagú ellenállások hőfüggésének közelítő képletét*:
R(q ) = R(q 0)[1+a 0(q - q 0)], Al. 8
ahol q a hőmérséklet (q 0 = 200 C), és a 0 (dimenziója 1/ 0C) a hőfoktényező. Ennek a tényezőnek fémes vezetőkre » 4× 10-3/ 0C a közelítő értéke. ( 25 0C hőfokváltozás kb. 10% ellenállás különbséget eredményez! ) Ez a képlet nem veszi figyelembe a hőtágulást, és a lineáris közelítés csak szobahőmérséklet közelében és legfeljebb 100 0C tartományban használható. Vannak azonban olyan speciális ötvözetek, amelyek ellenállásának hőmérsékletfüggése jóval kisebb az általában ismert értéknél. Ilyenek pl. a manganin, krómnikkel, konstantán stb.
* Sokaknak ismertebb lehet a fajlagos ellenállás hőmérsékletfüggése.
Meg kell említenünk a szupravezetés jelenségét is, amely azt jelenti, hogy egy jellemző (általában nagyon alacsony) hőmérsékleten bizonyos, -de nemcsak fémes - anyagok teljesen elveszítik az ellenállásukat.
Azt biztosan mondhatjuk, hogy jó minőségű ellenállások (bár ez igaz más elektronikus alkatrészekre is) előállításához, gyártásához nagy körültekintés szükséges. Az ilyen alkatrészeket lehetőleg pontosra, hőfüggetlenre, időben stabilra és alacsony parazita (C, és L) komponensűre kell készíteni. Ezeket a feltételeket - a köznapi elektronikus áramkörökben - az ún. fémréteg ellenállás egészen jól kielégíti.
Az ellenállások linearitása
Amikor egy vezetőn különböző nagyságú áram folyik, és ennek hatására annak ellenállása nem változik, akkor mondhatjuk, hogy a vezető - mint ellenállás - lineáris. Ezt az összefüggést ábrázolja az "R" jelölésű egyenes ( Al. 2/a. ábra ).
Az ábrán még egy germánium dióda (Ge), egy szilícium dióda (Si) és egy germánium alagút dióda (Ge*) karakterisztikáját is ábrázoltuk. Az alagút (tunel vagy Esaki) dióda szaggatott vonallal kezdődik és a "Ge" jelölésű görbében folytatódik. Láthatjuk, hogy ezek a görbék nem lineárisak az U-I koordináta rendszerben, azaz minden egyes pontban más az ellenállás értéke. Két lehetőségünk is van a számolásra.
Az egyik: elosztjuk az alkatrészen eső feszültséget a rajta átfolyó árammal, igy kapott értéket egyenáramú (sztatikus) ellenállásnak nevezzük.
A másik: a görbe aktuális pontjába érintőt illesztünk - ez az ún. differenciális (vagy dinamikus) ellenállás.Vegyük észre, hogy általában a kettő nem azonos, sőt akár sok nagyságrenddel is különbözhetnek egymástól.
Van egy még érdekesebb jelenség is, az ún. "negatív" ellenállás, ami az ábrán elég jól látható. Természetesen nem a sztatikus érték negatív, hiszen ez értelmetlen lenne (miért?), hanem a differenciális ellenállás (az érintő meredeksége) lesz negatív. Az alagút dióda karakterisztikájában van egy ilyen tartomány is, - két inflexiós pont között - ahol ez jelenség fellép. Ez a szakasz instabil állapotot jelenthet, s emiatt általában az eszköz itt tartósan nem maradhat. Későbbi fejezetekben (pl. a félvezetőknél) még más "negatív" ellenállású eszközzel (diak, tirisztor, triak stb.) is megismerkedhetünk.
B./ Soros, párhuzamos kapcsolások és osztók
1./ Ellenállások (impedanciák) sorba kapcsolásakor az eredő érték az egyes elemek összege lesz: (Megértéshez az Al. 4 képlet és az Al. 2. ábra is segítséget ad.)
Al. 9.
2./ Az előző pontban követett gondolatmenetet továbbfejlesztve a párhuzamosan kapcsolt ellenállások (impedanciák) eredője az alábbi lesz:
Al. 10
Az Al. 9. és Al. 10. képletekben a Z impedanciák komplex és nem abszolút értékek!
3./ Feszültségforrásokat illetve feszültséggenerátorokat sorbakötve a feszültségeik (előjelhelyesen) és a belső ellenállásaik (egyszerűen) összeadódnak. Későbbiekben látni fogjuk, hogy ezen elemek párhuzamos kapcsolása már bonyolultabb számítást, és több figyelmet igényel!
Az áramforrásokat és áramgenerátorokat párhuzamosan kötve az áramok előjelhelyesen összeadódnak, és a belső ellenállásaik eredőjét az előző pontban (2./) leírt párhuzamos kötés törvénye alapján kapjuk meg. Amikor ilyen elemeket sorba kötünk, akkor az eredő kiszámolása már sokkal nagyobb nehézséggel jár.
(A 3.-as pontban leírtak a Kirchhoff törvények megismerése után és annak alkalmazásával még könnyebben megérhetők lesznek.)
4./ A feszültségosztó megértéséhez elég az Ohm törvény ismerete:
Mivel terhelés nélkül az R1 és R2 ellenállásokon átfolyó áram I = Ube/(R1+R2),
[Z1 és Z2 impedancia mellett I = Ube/(Z1+Z2)]
és Uki = IR2 , így:
C./ Thevenin és Norton törvények
A Thevenin tétel azt fogalmazza meg, hogy azok az elektromos hálózatok, amelyek lineáris áramköri elemekből, valamint feszültség és áramforrásokból (generátorokból) állnak, azok mindig helyettesíhetők olyan kétpólussal, amely egy feszültségforrásnak és egy impedanciának* soros eredőjéből áll (Al. 5.a ábra).
A Norton tétel szinte teljesen azonos az előző törvénnyel, csak a helyettesítő kétpólus egy áramforrás és egy vele párhuzamosan kapcsolt impedancia*(Al. 5.b ábra). Terhelés nélkül az áramkör kimeneti pontjain itt is az eredő ún. üresjárási feszültséget kapjuk.
E két tétel az egyszerűsítő ötleten kívűl, segítséget nyújthat az első ránézésre bonyolultnak, és nehezen kiszámolhatónak tűnő áramkörök problémáinak megoldásánál is.
*Természetesen amikor az áramkörben csak ellenállások vannak (a forrásokon és generátorokon kívül), akkor az impedanciák helyett ellenállások szerepelnek.
D./ Kirchhoff törvények
Csomóponttörvény (első törvény)
Ez a törvény a töltésmegmaradás elvét alkalmazza. A csomópontban (áram-elágazási pont) találkozó áramok algebrai összege nulla, mert ha ez nem így lenne, akkor itt töltések (Q) halmozódnának fel (Al. 6. ábra). Mivel az áram az időegység alatt áramló töltés (I = Q/t), így a törvény az alábbi, közismert alakban is felírható :
Al. 6.
ábra
Gyakorlatban a törvényt felhasználva úgy kell számolunk, hogy az Ohm összefüggés segítségével meghatározzuk minden egyes csomópontba be és kifolyó áramot, és ezeket előjel-helyesen összeadjuk.
A számoláskor úgy is eljárhatunk, hogy minden csomóponthoz rendelünk egy "Uk" feszültséget -tetszőleges iránnyal - valamilyen másik csomóponthoz képest, és feszültségkülönbségekből így már ki tudjuk számolni az alkatrészeken átfolyó áramokat :
Ezután használjuk fel a Kirchhoff első törvényét (Al. 12.), de itt már vigyáznunk kell az áramirányok helyességére is:
A négy csomópontra természetesen négy
egyenletet írhatnánk fel, de a negyedik összefüggés ( -I1-I4-I5= 0 ) már nem
adna (nem is adhat, hiszen csak három ismeretlenünk van: U1, U2 és U3 ) újabb
független összefüggést. Az áramok fent kifejezett értékeit helyettesítsük be,
így az U1, U2 és U3 már kiszámítható. Ezek ismeretében az áramkörben folyó
áramok is meghatározhatók lesznek.
(Felvehettünk volna még egy feszültséget pl. az U4 -et (R4 -en mérhető érték), de ez sem jelentene újabb független adatot ( U4= U2-U3 ), hiszen az R4 -en átfolyó áramot (I6) már meghatároztuk, vagyis csak annyi független egyenletet hozzunk létre, ahány ismeretlen adatunk van.)
Huroktörvény (második törvény)
Ez a törvény azt mondja ki, hogy bármely zárt hurokban, ha előjelhelyesen összeadjuk a feszültségesések (IR) algebrai összegét és a feszültségforrások belső feszültségei algebrai összegét, akkor nullát kapunk eredményül.
Az Al. 8. ábrán látható áramköri részleten ez azt jelenti, hogy :
I1R1+I5R5-Uf3+I4R4-Uf2+I3R3+I2R2+Uf1= 0.
Tényleges számoláskor ezt a törvényt úgy kell alkalmazni, hogy annyi zárt tetszőleges áramhurkot rajzolunk, hogy minden alkatrészen legalább egyszer átmenjen. Amikor ezt elértük, akkor további hurkokat nem érdemes létrehoznunk, hiszen ekkor már új független egyenletet nem kaphatunk. Az aktív elemeket is tetszés szerint, de egyöntetűen (mindegyiket egyirányúan, vagy a + ® -, vagy a - ® + módon) jelöljük.
Feladatok:
Az eddig tanultakat használjuk fel a következő feladatok megoldásánál:
1./ Az Al. 9. ábrán látható kapcsolás a potenciométer formulát és a terheléskor bekövetkező jelnagyság (amplitúdó) változást segíti megértetni.
Kirchhoff huroktörvényét felhasználva az alábbi két egyenletet írhatjuk fel (Al. 13.) :
A második
egyenletből fejezzük ki az I1-et, és
helyettesítsük be az első egyenletbe:
.
Mivel értelemszerűen az Uki = I2Rterh , ezért felírhatjuk az alábbi összefüggést:
,
átrendezve:
.
Bevezetve az : jelöléseket, átírhatjuk a fenti egyenletet az alábbi
alakra:
Ezt az összefüggést azonnal is megkaphatjuk, ha a Thevenin helyettesítő tételt közvetlen alkalmazzuk (Al. 10. ábra):
Az eredő belső ellenállás :
A helyettesítő feszültség forrás feszültsége :
Így az eredő kimeneti feszültség :
Amint látjuk ugyanazt az összefüggést kaptuk, mint az előző módszerrel, csak sokkal áttekinthetőbben és kevesebb számolási munkával.
2./Egy másik példa : a vezérelt feszültségforrás. A működés alapja az, hogy az Uv vezérlő
feszültség hatására Uki nagyságú kimeneti feszültség jön létre. Mekkora ez az Uv ?
Használjuk fel a szuperpozíció elvét. Ekkor ugyanis az Ube és Uki feszültségek hatását külön - külön kiszámolva előjelhelyesen összeadhatjuk :
.
3./Feladat: bizonyítsuk be, hogy ha felcseréljük a feszültség generátort és az árammérőt (Al. 12. ábra a./ és b./), akkor a műszeren mért áram értéke nem változik.
A számolás előtt, - ha úgy könnyebb - adhatunk konkrét értékeket is az alkatrészeknek. Ilyen esetben gondoljuk meg azt is, hogy ha nem ideális a feszültséggenerátor, illetve az árammérő (azaz nem nulla a belső ellenállásuk), akkor ez mekkora hibát okozhat, vagy a többi alkatrész értékéhez viszonyítva ez meddig hanyagolható el.
4./ A következő néhány példa a gyakorlást segíti elő:
a./ Az Al. 13/a. ábrán látható két darab négypólus, amelyeknek számoljuk ki a bemeneti és kimeneti ellenállását. Ezután határozzuk meg az A, B, C ellenállást az a, b, c ismeretében illetve fordítva az A, B, C ismeretében számoljuk ki az a, b, c ellenállásokat.
b./ Az Al. 13/b. ábrán látható ellenálláslánc tagjainak száma tart a végtelenhez, próbáljuk meghatározni a bemeneti ellenállást, ha adottak az "a" és "b" értékei. Segítséget ad, ha észrevesszük, hogy milyen a matematikai törvényszerűség a lánc tagjai számainak növelésekor.
c./ Az Al. 13/c. ábrán a már ismert ellenállásláncot egy feszültség forrással tápláljuk. Kérdés mekkora legyen az "a" és "b" ellenállások értéke, hogy a csomópontokon a felírt értékek jelenjenek meg.
d./ Az előző áramkört ezúttal áramgenerátorral tápláljuk, és arra keresünk választ, az "a" és "b" ellenállások függvényében, hogy mikor folynak a függőlegesen rajzolt tagokon a jelzett áramok.
e./ A 13/e. ábrán látható áramkörön gyakorolhatjuk a reciprocitás és a szuperpozició elveit, valamint a Thevenin és Norton tételeket. A kimeneti feszültséget az R8-as ellenálláson mérjük.
f./ A 13/f. ábrán potenciométert láthatunk: vékony, egymás mellé tekercselt szigetelt vezetékbôl áll, amivel egy csuszka teremt kontaktust. Ha a huzalszakaszok egyforma hosszúak lennének - pl. azért, mert párhuzamos szélű csíkra tekercselték ôket, - akkor a potenciométer "lineáris" lenne. Kérdés: milyen lesz az Ux = f (U0 , x) függvény, ha kontúrvonala az ábrán megadott jellegű függvény és x = y/y0 ?
g./ A 13/g. ábrán egy olyan térbeli kocka látható, amelynek minden éle "R" ellenállású.
A feladat az, hogy meghatározzuk az A-B pontok (térátló), a B-C pontok (lapátló) és az A-C pontok (szomszéd csúcsok) közötti ellenállás értékét.
h./ A 13/h. ábrán egy chip két vezetéke látszik, amelyek alumíniumból készültek és szilicium-
oxid veszi körül ôket.
Határozzuk meg a vezetékek ellenállását, ha kontaktusok a legkisebb téglalapokhoz csatla-koznak, - valamint (közelítôleg) a közöttük lévô kapacitás értékét.
Mekkora ennek a rendszernek a felsô határfrekvenciája, illetve a mekkora a legrövidebb átvihetô jel szélessége?
(l. Bekapcsolási jelenségek fejezet.)